ZOBRAZENÍ ZRCADLY

Úvodní pojmy

Zrcadla jistě všichni znáte z každodenního života – ráno se do něj v koupelně díváte, abyste si upravili svůj zevnějšek, při řízení motocyklu nebo auta pomocí zrcadla sledujete situaci za sebou, můžete se s ním potkat také na křižovatkách, u lékaře i v domácnosti (v kuchyni, v koupelně), v přírodě můžete pozorovat odraz světla na vodní hladině, atd.

Nás bude hlavně zajímat, jak dochází k vytvoření obrazu, jak jej můžeme sestrojit a následně také výpočty určit polohu a vlastnosti obrazu.

Na úvod je třeba zmínit několik důležitých pojmů. Zrcadlo je vyleštěná kovová plocha. Může být rovinná, kulová, parabolická nebo obecně  zakřivená. Zobrazení pomocí zrcadel využívá zákonů paprskové optiky, zejména zákona přímočarého šíření světla a zákona odrazu světla – proto také u zrcadel mluvíme o zobrazení odrazem. Pro zjednodušení zanedbáme vlnové vlastnosti světla (tzn. že vlnová délka světla je zanedbatelná vůči rozměrům optické soustavy = soustavy optických prostředí a jejich rozhraní, která mění chod optických paprsků). Optickým zobrazením pak nazýváme postup, kterým získáváme optické obrazy bodů.

Předpokládejme, že na optickou soustavu dopadá svazek rovnoběžných paprsků. Je-li tento svazek po průchodu optickou soustavou sbíhavý, pak v jejich průsečíku vzniká skutečný (= reálný) obraz, který lze zachytit na stínítku.  Je-li svazek paprsků rozbíhavý, pak vzniká neskutečný (= virtuální, zdánlivý) obraz, který vzniká v průsečíku prodloužených rozbíhavých paprsků a nelze jej zachytit na stínítku.

Rovinné zrcadlo

Nejjednodušším zrcadlem je rovinné zrcadlo. Je to vyleštěná kovová rovinná plocha. U běžně používaných zrcadel je tato kovová vrstva pokryta tenkou vrstvou skla – chrání kov před poškrábáním a jiným poškozením. U přesných (vědeckých) zrcadel užívaných k přesným experimentům tato skleněná vrstva chybí.

Popišme si nyní, jak vzniká obraz a jaké má vlastnosti. Mějme bodový zdroj světla (označme je Z), který se nachází před zrcadlem (viz obr. 1). Ze zdroje vychází světlo, které dopadá na rovinnou zrcadlící plochu a odráží se podle zákona odrazu.

Zvolme libovolný paprsek (např. paprsek 1), který prochází bodem Z a dopadá na rovinné zrcadlo pod úhlem dopadu a₁. Podle zákona odrazu světla se odráží pod stejným úhlem zpět (paprsek 1´). Zvolme jiný paprsek (např. paprsek 2) procházející bodem Z. Tento paprsek dopadá na rovinné zrcadlo pod úhlem dopadu a₂ a opět se odráží pod stejně velkým úhlem zpět (paprsek 2´). Odražené paprsky 1‘ a 2‘  jsou různoběžné – proto nemůže vzniknout skutečný obraz. Abychom našli jejich průsečík, musíme je oba prodlužit do prostoru za zrcadlo – protnou se v bodě Z´. V tomto bodě vzniká zdánlivý obraz bodu Z.

Obr.  1: Zobrazení rovinným zrcadlem

Z obrázku vyplývají vlastnosti obrazu:

1.      je zdánlivý;

2.      je symetrický s předmětem Z vzhledem k rovině zrcadla (vzdálenost |OZ| je stejná jako vzdálenost |OZ´|;

3.      je stejně velký jako předmět;

4.      je stranově převrácený.

Všechny si můžete ověřit u rovinného zrcadla v předsíni nebo v koupelně nebo na obr. 2.

Obr.  2: Rovinné zrcadlo

(převzato z http://www.capo-gata.cz/)

Kulová zrcadla

V praxi se kromě rovinných zrcadel používají zakřivená zrcadla, která na rozdíl od rovinných zrcadel mohou měnit velikost obrazu. Nejjednoduššími zakřivenými zrcadly jsou kulová zrcadla, kdy je odrazná vrstva nanesena na části povrchu koule. Je-li nanesena z vnitřní strany, pak toto zrcadlo nazýváme duté (= konkávní; viz obr. 3a), je-li z vnější strany, pak vypuklé (= konvexní; viz obr. 3b).

Obr.  3a: Duté zrcadlo

Obr.  3b: Vypuklé zrcadlo

Čerchovanou čáru na obrázcích 3a a 3b nazýváme optická osa zrcadla, označujeme o. Její průsečík s odraznou plochou zrcadla nazýváme vrchol zrcadla a označujeme V. Střed kulové plochy tvořící zrcadlo nazýváme střed křivosti a označujeme S, střed úsečky SV  nazýváme ohnisko zrcadla a označujeme jej F. Vzdálenost středu křivosti od vrcholu zrcadla nazýváme poloměr křivosti, označujeme r. Vzdálenost ohniska od vrcholu zrcadla značíme f a nazýváme ohnisková vzdálenost. Všechny tyto body  a vzdálenosti jsou na obrázku 4.

Obr.  4: Význačné body a vzdálenosti: a) duté zrcadlo; b) vypuklé zrcadlo

Konstrukce obrazu

Při konstrukci obrazu budeme používat tzv. paraxiální paprsky – tj. paprsky, které procházejí v těsné blízkosti optické osy. Ze všech možných paprsků si zvolíme tři nejpoužívanější:

1.      paprsek procházející rovnoběžně s optickou osou se odráží do ohniska (červený paprsek na obrázku 3a);

2.      paprsek procházející ohniskem se odráží rovnoběžně s optickou osou (zelený paprsek na obrázku 3a);

3.      paprsek procházející středem křivosti se odráží po stejné dráze zpět (modrý paprsek na obrázku 3a);

Při některých typech úloh  je výhodnější použít paprsek dopadající do vrcholu zrcadla, který se podle zákona odrazu světla odráží symetricky k optické ose (modrý paprsek na obrázku 3b).

Pro popis zobrazení ještě budeme potřebovat další vzdálenosti:

-        předmětová vzdálenost  – vzdálenost předmětu od vrcholu zrcadla, označujeme ji a;

-        obrazová vzdálenost – vzdálenost obrazu od vrcholu zrcadla, označujeme ji a‘;

-        velikost předmětu – označujeme y;

-        velikost obrazu – označujeme y‘.

Je-li:

-        velikost obrazu větší než velikost předmětu, říkáme, že je obraz zvětšený;

-        velikost obrazu menší než velikost předmětu, říkáme, že je obraz zmenšený.

Zobrazení dutým zrcadlem

Při zobrazení dutým zrcadlem závisí vlastnosti obrazu na vzdálenosti předmětu od vrcholu zrcadla. Následující obrázky byly pořízeny pomocí java apletu na stránkách http://www.control.co.kr/java1/ThinLens/lens&mirror/lensDemo.html.

Budeme postupně přibližovat předmět (černá šipka) k dutému zrcadlu a studovat vlastnosti obrazu (modrá šipka označuje skutečný obraz, zelená šipka představuje obraz neskutečný).

1.      a > r (předmět je ve větší vzdálenosti od zrcadla než poloměr křivosti)

Obr.  5: Duté zrcadlo

Obraz je převrácený, zmenšený a skutečný a vzniká v prostoru mezi ohniskem a středem křivosti. Lze jej zachytit na stínítko (viz obr. 6 – obraz plamene svíčky na papíru)

Obr.  6: Duté zrcadlo

2.       (předmět se nachází ve středu křivosti)

Obr.  6: Duté zrcadlo

Obraz je opět převrácený, skutečný, stejně velký jako předmět a vzniká opět ve středu křivosti.

3.       (předmět se nachází mezi středem křivosti a ohniskem)

Obr.  7: Duté zrcadlo

Obraz je zvětšený, přímý, skutečný a vzniká ve vzdálenosti, která je větší než poloměr křivosti zrcadla. Opět lze zachytit na stínítko – viz obr. 8.

Pozn.: Všimněte si, že platí podobná věc jako u zákona lomu světla: paprsky jsou záměnné – tzn., že budu-li považovat obraz za předmět, vznikne jeho obraz na místě předmětu.

Obr.  8: Duté zrcadlo

4.       (předmět se nachází v ohnisku)

Obr.  9: Duté zrcadlo

Obraz je neskutečný, přímý a vzniká v nekonečnu. Nelze zachytit na stínítko, ale lze jej pozorovat lidským okem. Obrátíme-li úlohu podobně jako v předchozím případě, zjistíme, že obrazy nekonečně vzdálených předmětů musí vznikat v ohniskové rovině (rovina, která prochází ohniskem a je kolmá na optickou osu) – této vlastnosti se využívá při konstrukci dalekohledů, mikroskopů a dalších optických přístrojů.

5.       (předmět se nachází mezi vrcholem a ohniskem zrcadla)

Obr.  10: Duté zrcadlo

Vzniká obraz neskutečný, přímý, zvětšený a nachází se za zrcadlem (odražené paprsky prodloužíme do prostoru za zrcadlo).

Všechny tyto případy si můžete prohlédnout ještě na jednom java apletu od B. Surendranatha.

Zobrazení vypuklým zrcadlem

Zobrazení vypuklým zrcadlem je jednodušší než zobrazení dutým zrcadlem. Na následujících java apletech se můžete přesvědčit, že vlastnosti obrazu vytvořeného vypuklým zrcadlem nezávisí na vzdálenosti předmětu od zrcadla - aplet 1; aplet 2

Následující obrázky byly opět pořízeny pomocí java apletu na stránkách http://www.control.co.kr/java1/ThinLens/lens&mirror/lensDemo.html.

1.       (předmět se nachází před zrcadlem v libovolné vzdálenosti)

Obr.  11: Vypuklé zrcadlo

Vždy vzniká obraz, který je zmenšený, přímý, neskutečný a vždy leží mezi zrcadlem a ohniskem.

Kulová vada zrcadla

Při zobrazení kulovými zrcadly vzniká při dopadu širokého svazku paprsků rovnoběžných s optickou osou na zrcadlo tzv. kulová vada – projeví se tím, že obrazem bodu není bod, ale malá ploška (pokud jste si konstruovali jednotlivé případy, možná se vám stalo, že se tři význačné paprsky neprotly v jediném bodě, ale získali jste tři průsečíky – důsledek kulové vady). Lze ji potlačit zúžením dopadajícího svazku paprsků nebo použitím jiného typu zrcadla – parabolického zrcadla (odrazná plocha tvoří část povrchu rotačního paraboloidu). S parabolickými zrcadly se můžete setkat v téměř každém automobilu.

Využití zrcadel v praxi

Jak už jsem zmínil na začátku, se zrcadly se můžete potkat prakticky na každém kroku – stačí si všímat  lesklých ploch. V kuchyni může jako zrcadlo sloužit naběračka (viz obrázky 12 a 13), v koupelně zase vodovodní baterie.

Obr.  12: Naběračka - duté zrcadlo v kuchyni

Obr.  13: Naběračka - vypuklé zrcadlo v kuchyni

S kulovými zrcadly se můžete potkat také v automobilu nebo na motocyklu – vypuklá zrcadla se používají jako zpětná zrcátka, protože nepřevrací obraz. Můžete je rovněž potkat na nepřehledných křižovatkách. (viz obr. 14, 15, 16)

Obr.  14: Vypuklé zrcadlo  - zpětné zrcátko automobilu

Obr.  15: Vypuklé zrcadlo  - zpětné zrcátko motocyklu

Obr.  16: Vypuklé zrcadlo – na nepřehledných křižovatkách

(převzato z http://kachnitata.wz.cz/media/2002/x13_zrcadlo.jpg)

S vypuklými zrcadly se můžete setkat také při vyšetření u lékaře (u zubaře, na ušním oddělení, ...). Využívají se při konstrukci velkých dalekohledů – tzv. reflektorů.

Řešené příklady

1)      Ve vzdálenosti 15 cm od vrcholu dutého zrcadla s ohniskovou vzdáleností 6 cm se nachází předmět vysoký 2 cm. Zvolte vhodné měřítko a sestrojte obraz tohoto předmětu. Rovněž určete vlastnosti tohoto obrazu.

a = 15 cm, f = 6 cm, y = 2 cm, a‘ = ?

Řešení:

Nejprve  zobrazíme situaci (viz obr. 17) – sestrojíme optickou osu, zvolíme střed křivosti, najdeme ohnisko a vrchol zrcadla a sestrojíme zrcadlo; zobrazovaný předmět znázorníme šipkou. 

Obr.  17: K řešenému příkladu č. 1

Sestrojíme tři význačné paprsky – viz obr. 18. Vždy musíme mít na paměti, že musí procházet koncovým bodem předmětu – v podstatě hledáme obraz jednoho bodu; jakmile jej nalezneme, můžeme velmi rychle určit také druhý krajní bod obrazu.

Obr.  18: K řešenému příkladu č. 1

Nyní jsme získali průsečík tří význačných paprsků. V tomto průsečíku se tedy bude nacházet obraz předmětu – viz obr. 19.

Obr.  19: K řešenému příkladu č. 1

Z obrázku také přímo vyplývají vlastnosti obrazu: je převrácený, zmenšený a skutečný.

2)      Ve vzdálenosti 6 cm od vrcholu vypuklého zrcadla s poloměrem křivosti 10 cm se nachází předmět vysoký 2 cm. Zvolte vhodné měřítko a sestrojte obraz tohoto předmětu. Rovněž určete vlastnosti tohoto obrazu.

a = 6 cm, r = 10 cm, y = 2 cm, a‘ = ?

Řešení:

Při řešení postupujeme podobně jako v příkladu č. 1. Nejprve sestrojíme optickou osu zrcadla, zvolíme střed křivosti, sestrojíme kulovou plochu, vyznačíme vrchol a ohnisko zrcadla. Nakonec šipkou vyznačíme polohu předmětu. Pomocí tří význačných paprsků sestrojíme obraz předmětu.

Obr.  20: K řešenému příkladu č. 2

Z obrázku č. 20 opět vyplývají vlastnosti obrazu: je zmenšený, přímý a neskutečný (vzniká v průsečíku odražených paprsků prodloužených za zrcadlo).

3)      Je dána optická osa o kulového zrcadla, bod X a jeho obraz X‘ vytvořený kulovým zrcadlem (viz obr. 21). Určete, je-li zrcadlo duté nebo vypuklé a najděte vrchol zrcadla, jeho ohnisko a střed křivosti.

Řešení:

Při řešení tohoto typu úloh je třeba dokonale znát souvislost polohy předmětu a vlastností obrazu.

Obr.  21: K řešenému příkladu č. 3

Z obrázku č. 21 je vidět, že vzdálenost bodu X‘ od optické osy je menší než vzdálenost bodu X od osy – z toho plyne, že obraz musí být zmenšený. Protože se navíc oba body nachází ve stejné polorovině, musí být zrcadlo vypuklé.

Nejprve najdeme střed křivosti zrcadla. Víme, že paprsek procházející předmětem a středem křivosti se odráží po stejné dráze zpět – proto střed křivosti zrcadla musí ležet na průsečíku optické osy a přímky XX‘ – viz obr. 22.

Obr.  22: K řešenému příkladu č. 3

Při určování polohy vrcholu zrcadla je vhodné použít čtvrtý význačný paprsek – paprsek dopadající do vrcholu zrcadla, který se odráží symetricky s dopadajícím paprskem podle optické osy. Tzn., že když sestrojíme obraz X‘‘  bodu X‘ v osové souměrnosti s osou o, pak vrchol zrcadla musí ležet v průsečíku přímky XX‘‘ a optické osy – viz obr. 23.

Obr.  23: K řešenému příkladu č. 3

Paprsek XV se po odrazu šíří jako paprsek X₁V, proto bod X‘ musí ležet na paprsku prodlouženém za zrcadlo.

Nyní zbývá poslední úkol: nalezení ohniska zrcadla. Je velmi jednoduchý – stačí sestrojit střed úsečky SV – viz obr. 24.

Obr.  24: K řešenému příkladu č. 3

Použitá literatura:

[1]   BARTUŠKA, K. Sbírka řešených úloh z fyziky IV. 1. vyd. Praha: Prometheus 2000

[2]   Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.: Fyzika. 1. vyd. Brno: VUTIUM, 2000

[3]   HORÁK, Z., KRUPKA, F.: Fyzika. 2. vyd. Praha: SNTL, 1976

[4]   Javorskij, B. M., Selezněv, J. A. Přehled elementární fyziky. 1. vyd., Praha: SNTL, 1989

[5]   Lepil, O. Fyzika pro gymnázia – Optika. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2002

[6]   VON LAUE, M. Dějiny fyziky.  1. vyd. Praha: Orbis, 1958