ZOBRAZENÍ ČOČKAMI

- rozliší druhy čoček
- vypočte ohniskovou vzdálenost čočky a ptickou mohutnost čočky
- užívá tří význačných paprsků ke konstrukci obrazu daného předmětu
- vysvětlí užití čoček v praxi

 

Úvodní pojmy

Čočky, stejně jako zrcadla, patří pro mnohé z nás do běžného života. Někdo nosí brýle, jiný zase fotografuje nebo používá videokameru nebo se dívá dalekohledem na hvězdy. Při všech těchto činnostech a při mnoha dalších se potkáváme s čočkami. Zároveň si mnozí z vás vzpomenou na scénu z Pekařova císaře, kde astronom Tycho Brahe žádá Rudolfa II. o čočku – a dostane luštěninu. Čočka v optice sice vypadá podobně jako zmíněná luštěnina, ale na rozdíl od ní neroste na žádném poli a je vyrobena z průhledného skla nebo plastu.

 

Čočkou tedy budeme nazývat každé homogenní průhledné těleso ohraničené buď dvěma kulovými plochami nebo jednou kulovou a jednou rovinnou plochou (možná již víte z matematiky, že rovinnou plochu můžeme považovat za část kulové plochy s nekonečným poloměrem.

 

Nás bude hlavně zajímat, jak dochází k vytvoření obrazu, jak jej můžeme sestrojit a následně také výpočty určit polohu a vlastnosti obrazu.

 

 

 

Zobrazení pomocí čoček využívá zákonů paprskové optiky, zejména zákona přímočarého šíření světla a zákona lomu světla – proto také u čoček mluvíme o zobrazení lomem. Stejně jako u zrcadel zanedbáme pro zjednodušení vlnové vlastnosti světla.

 

 

 

Nejčastější typy čoček, s nimiž se můžete v praxi setkat, jsou na obrázku č. 1.

 

 

 

 

Obr. 1: Druhy čoček

 

 

 

Na obrázku 1a je dvojvypuklá čočka, na obrázku 1b ploskovypuklá čočka, na obrázku 1c dutovypuklá čočka, na obrázku 1d dvojdutá čočka, na obrázku 1e ploskodutá čočka, na obrázku 1f vypuklodutá čočka. Čočky, které jsou uprostřed nejširší (na obrázcích 1a–1c), nazýváme spojky, naopak čočky, které jsou uprostřed nejtenší (na obrázcích 1d – 1f), nazýváme rozptylky.

 

 

Písmenkem o stejně jako u zrcadel označujeme optickou osu čočky, tj. přímku, která prochází středy křivosti obou optických ploch.

 

 

 

Na obrázku 2a jsou znázorněny význačné body a vzdálenosti u dvojvypuklé spojky, na obrázku 2b u dvojduté rozptylky.

 

 

 

 

Obr.  2: Význačné body a vzdálenosti – spojka (a), rozptylka (b)

 

 

 

Na rozdíl od kulových zrcadel jsou u čoček dva středy křivosti C, dvě ohniska F, dva vrcholy V.  Navíc je zde další význačný bod – optický střed čočky, který označujeme O. Ohnisko, které se nachází ve stejné části prostoru jako předmět, označujeme jako předmětové ohnisko (F1), druhé ohnisko označujeme jako obrazové (F2). Vzdálenost předmětového ohniska od optického středu čočky se nazývá předmětová ohnisková vzdálenost (f1), vzdálenost obrazového ohniska od optického středu se nazývá obrazová ohnisková vzdálenost (f2). V některé literatuře se předmětové ohnisko označuje F a obrazové ohnisko .

 

 

Vždy platí:

Spojka má obě ohniska skutečná, rozptylka má obě ohniska neskutečná!

 

Ohnisková vzdálenost

Při vytváření obrazu dochází ke dvěma lomům světla – na každém rozhraní. Proto si vypomůžeme určitým zjednodušením – budeme používat tzv. tenké čočky – čočky, jejichž tloušťka se blíží k nule a obě lámavé plochy téměř splývají. Jejich schématické značky jsou na obrázku  č. 3.

 

 

 

 

 

Obr.  3: Tenká spojka (a), tenká rozptylka (b)

 

 

U tenkých čoček za předpokladu, že je z obou stran čočky stejné prostředí (např. vzduch) platí, že předmětová ohnisková vzdálenost je stejná jako obrazová ohnisková vzdálenost. Její velikost závisí na indexu lomu n2 materiálu čočky, indexu lomu n1 okolního prostředí a na poloměrech křivosti r1, r2 lámavých ploch. Platí vztah:

 

 

 

 

Při výpočtu ohniskové vzdálenosti musíme dodržovat znaménkovou konvenci. Poloměr křivosti vypuklých optických ploch uvažujeme s kladným znaménkem, poloměr křivosti dutých optických ploch naopak se znaménkem záporným. Odtud plyne, že spojka má vždy ohniskovou vzdálenost kladnou a rozptylka zápornou.

 

 

 

Pro popis vlastností čoček zavádíme ještě jednu veličinu – optickou mohutnost čočky, označujeme ji j.  Je definována jako převrácená hodnota ohniskové vzdálenosti čočky:

Jednotkou optické mohutnosti je dioptrie, značka D. Vzhledem k tomu, že spojky mají vždy ohniskovou vzdálenost kladnou, mají také kladnou optickou mohutnost, rozptylky mají optickou mohutnost zápornou.

 

 

Konstrukce obrazu

Při konstrukci obrazu budeme opět používat tzv. paraxiální paprsky – tj. paprsky, které procházejí v těsné blízkosti optické osy. Ze všech možných paprsků si zvolíme tři nejpoužívanější (jsou velmi podobné jako u kulových zrcadel):

 

 

1.      paprsek procházející rovnoběžně s optickou osou se láme do předmětového ohniska (červené paprsky na obrázku č. 4);

2.      paprsek procházející předmětovým ohniskem se láme rovnoběžně s optickou osou (zelené paprsky na obrázku č. 4);

3.      paprsek procházející optickým středem se neláme (modré paprsky na obrázku č. 4);

 

 

Obr.  4: Chod význačných paprsků: tenkou spojkou (a), tenkou rozptylkou (b)

 

Stejně jako u kulových zrcadel budeme pro popis zobrazení ještě potřebovat další vzdálenosti:

-        předmětová vzdálenost  – vzdálenost předmětu od optického středu čočky, označujeme ji a;

-        obrazová vzdálenost – vzdálenost obrazu od optického středu čočky, označujeme ji a‘;

-        velikost předmětu – označujeme y;

-        velikost obrazu – označujeme y‘.

 

 

Stejně jako u zrcadel platí: Je-li:

-        velikost obrazu větší než velikost předmětu, říkáme, že je obraz zvětšený;

-        velikost obrazu menší než velikost předmětu, říkáme, že je obraz zmenšený.

 

Zobrazení tenkou spojkou

Při zobrazení tenkou spojkou závisí vlastnosti obrazu na vzdálenosti předmětu od optického středu čočky. Následující obrázky byly pořízeny pomocí java apletu na stránkách http://www.control.co.kr/java1/ThinLens/lens&mirror/lensDemo.html.

 

 

 

Budeme postupně přibližovat předmět (černá šipka) k dutému zrcadlu a studovat vlastnosti obrazu (modrá šipka označuje skutečný obraz, zelená šipka představuje obraz neskutečný).

 

1.      a > 2f (předmět je ve vzdálenosti větší než dvojnásobek ohniskové vzdálenosti)

 

Obr.  5: Tenká spojka

 

Obraz je převrácený, zmenšený a skutečný a vzniká v prostoru mezi ohniskem a středem křivosti. Lze jej zachytit na stínítko (viz obr. 6 – obraz plamene svíčky na papíru).

 

 

 

Obr.  6: Tenká spojka

 

 

2.       (předmět se nachází ve vzdálenosti, která je rovna dvojnásobku ohniskové vzdálenosti)

 

 

Obr.  7: Tenká spojka

 

Obraz je opět převrácený, skutečný, stejně velký jako předmět a platí, že obrazová vzdálenost je stejná jako předmětová.

 

 

3.       (předmětová vzdálenost je větší než ohnisková vzdálenost, ale menší než dvojnásobek ohniskové vzdálenosti)

 

 

Obr.  8: Tenká spojka

 

Obraz je zvětšený, přímý, skutečný a vzniká ve vzdálenosti, která je větší než dvojnásobek ohniskové vzdálenosti čočky. Opět lze zachytit na stínítko – viz obr. 9.

 

Pozn.: Všimněte si, že opět platí podobná věc jako u zákona lomu světla: paprsky jsou záměnné – tzn., že budu-li považovat obraz za předmět, vznikne jeho obraz na místě předmětu.

 

 

 

Obr.  9: Tenká spojka

 

 

4.       (předmět se nachází v ohnisku)

 

 

Obr.  10: Tenká spojka

 

Obraz je neskutečný, přímý a vzniká v nekonečnu. Nelze zachytit na stínítko, ale lze jej pozorovat lidským okem. Obrátíme-li úlohu podobně jako v předchozím případě, zjistíme, že obrazy nekonečně vzdálených předmětů musí vznikat v obrazové ohniskové rovině (rovina, která prochází obrazovým ohniskem a je kolmá na optickou osu) – této vlastnosti se opět využívá při konstrukci dalekohledů, mikroskopů a dalších optických přístrojů.

 

 

5.       (předmět se nachází mezi optickým středem a předmětovým ohniskem spojky)

 

 

Obr.  11: Tenká spojka

 

Vzniká obraz neskutečný, přímý, zvětšený a nachází se před spojkou (lomené paprsky prodloužíme do prostoru před spojku).

 

 

 

Všechny tyto případy si můžete prohlédnout ještě na jednom java apletu od B. Surendranatha.

 

 

Zobrazení tenkou rozptylkou

Zobrazení tenkou rozptylkou je podobné zobrazení vypuklým zrcadlem. Stejně jako u vypuklého zrcadla vlastnosti obrazu nezávisí na poloze předmětu.

 

Následující obrázek byl opět pořízen pomocí java apletu na stránkách http://www.control.co.kr/java1/ThinLens/lens&mirror/lensDemo.html.

 

 

 

1.       (předmět se nachází před rozptylkou v libovolné vzdálenosti)

 

 

Obr.  12: Tenká rozptylka

 

Vždy vzniká obraz, který je zmenšený, přímý, neskutečný a vždy leží mezi rozptylkou a obrazovým ohniskem.

 

 

Kulová vada čočky

Stejně jako u kulových zrcadel vzniká při zobrazování čočkami tzv. kulová vada – projeví se tím, že obrazem bodu není bod, ale malá ploška (pokud jste si konstruovali jednotlivé případy, možná se vám stalo, že se tři význačné paprsky neprotly v jediném bodě, ale získali jste tři průsečíky – důsledek kulové vady). Lze ji potlačit zúžením dopadajícího svazku paprsků nebo použitím jiného typu čoček – tzv. asférických  (lámavá plocha netvoří kulovou plochu). Můžete se o tom přesvědčit na tomto java apletu.

 

 

Využití čoček v praxi

Jak už jsem zmínil na začátku, s čočkami se můžeme setkat prakticky v každém oboru lidské činnosti – ať už jsou to brýle nebo kontaktní čočky, mikroskopy, dalekohledy, projektory. Dvě čočky si každý z nás nosí v oku.

 

 

 

 

 

 

Řešené příklady

1)      Ve vzdálenosti 12 cm od spojky s ohniskovou vzdáleností 5 cm se nachází předmět vysoký 2 cm. Zvolte vhodné měřítko a sestrojte obraz tohoto předmětu. Rovněž určete vlastnosti tohoto obrazu.

a = 12 cm, f = 5 cm, y = 2 cm, a‘ = ?


Řešení:

Nejprve  zvolíme vhodné měřítko – v tomto případě je možno použít zmenšení v poměru 2:1. Následně zobrazíme situaci (viz obr. 13) – sestrojíme optickou osu, zvolíme optický střed čočky, sestrojíme obě ohniska a  sestrojíme tenkou spojku; zobrazovaný předmět znázorníme šipkou. 

 

 

Obr.  13: K řešenému příkladu č. 1

 

 

 

Sestrojíme tři význačné paprsky – viz obr. 14. Vždy musíme mít na paměti, že musí procházet koncovým bodem předmětu – v podstatě hledáme obraz jednoho bodu; jakmile jej nalezneme, můžeme velmi rychle určit také druhý krajní bod obrazu.

 

 

 

Obr.  14: K řešenému příkladu č. 1

 

 

V  průsečíku paprsků se nachází obraz předmětu. Obraz má tyto vlastnosti: je zmenšený, převrácený a skutečný.

 

 

 

 

2)      Ve vzdálenosti 3 cm od čočky s ohniskovou vzdáleností  10 cm se nachází předmět vysoký 4 cm. Zvolte vhodné měřítko a sestrojte obraz tohoto předmětu, je-li čočka a) spojka; b) rozptylka. V obou případech určete vlastnosti tohoto obrazu.

a = 3 cm, f = 10 cm, y = 4 cm, a‘ = ?


Řešení:

Při řešení postupujeme podobně jako v příkladu č. 1. Nejprve opět zvolíme měřítko (2:1), sestrojíme optickou osu čočky, zvolíme optický střed čočky, sestrojíme obě ohniska a  sestrojíme tenkou spojku; zobrazovaný předmět znázorníme šipkou.  Pomocí tří význačných paprsků pak sestrojíme obraz předmětu.

Nejprve sestrojíme obraz vytvořený spojkou.

 

 

Obr.  15: K řešenému příkladu č. 2a

 

 

Na obrázku č. 15 vidíme, že lomené paprsky 1‘, 2‘ a 3‘ jsou rozbíhavé. Abychom získali jejich průsečík, musíme je prodloužit do prostoru před spojkou. Proto obraz, který v tomto případě vzniká, je neskutečný, zvětšený a přímý.

 

 

 

Jestliže budeme hledat obraz vytvořený rozptylkou, budeme postupovat prakticky stejně.

 

 

Obr.  16: K řešenému příkladu č. 2b

 

 

 

Na obrázku č. 16 vidíme, že lomené paprsky 1‘,2‘ a 3‘ jsou opět rozbíhavé. Abychom získali jejich průsečík, musíme je prodloužit do prostoru před rozptylkou. Proto obraz, který v tomto případě vzniká, je neskutečný, zmenšený a přímý.

 

 

 

 

 

 

 

 

Použitá literatura:

[1]   BARTUŠKA, K. Sbírka řešených úloh z fyziky IV. 1. vyd. Praha: Prometheus 2000

[2]   Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.: Fyzika. 1. vyd. Brno: VUTIUM, 2000

[3]   HORÁK, Z., KRUPKA, F.: Fyzika. 2. vyd. Praha: SNTL, 1976

[4]   Javorskij, B. M., Selezněv, J. A. Přehled elementární fyziky. 1. vyd., Praha: SNTL, 1989

[5]   Lepil, O. Fyzika pro gymnázia – Optika. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2002

[6]   VON LAUE, M. Dějiny fyziky.  1. vyd. Praha: Orbis, 1958