OBVOD A OBSAH LICHOBĚŽNÍKU

 

 

1. Obvod lichoběžníku:

 

? Zopakuj si nejprve, jak určíš obvod trojúhelníku a čtyřúhelníku ?

 

? Dokážeš spočítat obvod libovolného mnohoúhelníku ?

 

Pokud Ti předchozí otázky nedělaly problémy, nebude pro Tebe jistě problém říci, jak získáš obvod lichoběžníku. Nabízím Ti následující obrázek:

 

 

o  =  a + b + c + d

 

Příklad 1: Vypočtěte obvody lichoběžníků znázorněných na obrázku:

 

 

Obvod lichoběžníku na obrázku 1:

 

 

Obvod lichoběžníku na obrázku 2: Nejprve se pokus odpovědět na následující otázky:

 

? Co platí pro vnitřní úhly při základně AB ?

Jsou shodné

? O jaký lichoběžník se tedy jedná ?

Rovnoramenný lichoběžník

? Jaká je délka ramena AD ?

Je stejná jako délka ramene BC, rameno AD má velikost 0,7 m

 

? Co je třeba ještě provézt, abychom mohli obvod lichoběžníku spočítat ?

Je nutno veškeré údaje převézt na shodné jednotky, např. na decimetry

 

 

Příklad 2: Vypočtěte délky chybějících stran lichoběžníků znázorněných na obrázku:

 

 

Strana lichoběžníku na obrázku 1:

 

 

Strana lichoběžníku na obrázku 2: Opět vidíš na obrázku, že se jedná o rovnoramenný lichoběžník (proč asi?). Neznámé délky ramen BC a AD jsou tedy shodné. Spočteš je tak, že od obvodu odečteš známé délky základen AB a CD. Získaný výsledek pak podělíš dvěma a dostáváš délky obou ramen. Nezapomeň si sjednotit jednotky:

 

 

Příklad 3: Vypočtěte obvod lichoběžníku ABCD, je-li dáno:  

 

Lichoběžník má stejně dlouhé úhlopříčky – je tedy rovnoramenný. Neznámé rameno BC má délku 8 cm.

 

 

2. Obsah lichoběžníku:

 

Postupuj podle následujících instrukcí:

 

1.      Narýsuj si libovolný lichoběžník ABCD, popiš si jeho strany a z bodu D veď k základně AB výšku lichoběžníku

  1. Sestroj si střed S strany BC
  2. Ve středové souměrnosti podle středu S sestroj bod X jako obraz vrcholu D:
  3. Spoj si body B a X

 

 

Pokus se nyní sám odpovědět na mé otázky. Svou odpověď si porovnej s mou, která se nachází ihned pod zadanou otázkou:

 

? Co můžeš říci o úhlech BSX a DSC ?

Jsou to úhly vrcholové, a proto jsou shodné

 

? Co můžeš říci o délkách stran CS a SB ?

Jsou shodné, bod S je středem strany BC

 

? Co můžeš říci o délkách stran DS a SX ?

Jsou shodné, bod S je středem souměrnosti, který bod D zobrazí na bod X

 

? Co můžeš říci o trojúhelnících DSC a SBX ?

Jsou shodné podle věty sus:

 

? Urči délku úseku BX ?

Protože jsou trojúhelníky DSC a SBX shodné, je délka BX totožná s délkou základny

 

Vše, co jsi právě zjistil, máš vyznačeno na následujícím obrázku:

 

 

? Porovnej obsah původního lichoběžníku ABCD a obsah trojúhelníku AXD ?

Určitě Tě nepřekvapí, že jsou shodné

 

 

? Jak tedy spočteš obsah lichoběžníku ABCD ?

Spočtu jej jako obsah trojúhelníku AXC

 

Úkol: Načrtni si libovolný lichoběžník a pomocí výšky lichoběžníku a jedné úhlopříčky ukaž, že pro obsah lichoběžníku opravdu platí

 

 

Odpověz si na následující otázky. Odpovědi najdeš na následujícím obrázku:

 

? Na jaké rovinné útvary Ti úhlopříčka rozdělí lichoběžník ?

 

? Jak spočteš obsah trojúhelníku ABD ?

 

? Jak spočteš obsah trojúhelníku BCD ?

 

? Jak spočteš obsah lichoběžníku ABCD ?

 

 

Obsah lichoběžníku tedy nakonec spočteš:

 

 

 

Zapamatuj si:

 

Obsah lichoběžníku S spočteš tak, že vynásobíš součet délek obou základen (a + c) výškou v a výsledek podělíš dvěma.

 

Příklad 4: Urči obsah lichoběžníků vyznačených na obrázcích (výsledky zaokrouhluj na jednotky):

 

 

 

Obsah lichoběžníku na obrázku 1:

 

 

Obsah lichoběžníku na obrázku 2: Opět si nezapomeň sjednotit jednotky (nejlépe na metry, ať nepočítáš s velkými čísly). Všimni si, že se jedná o pravoúhlý lichoběžník, strana Bc je tedy jeho výškou:

 

 

Příklad 5:  Urči obsahy lichoběžníků vyznačených ve čtvercové síti, víš-li, že strana čtverce má velikost 1 cm:

 

 

 

Nejprve si spočteme obsah žlutě vyznačeného lichoběžníku ABCD (jedná se o pravoúhlý lichoběžník, strana AB je jeho výškou):

 

 

Pro obsah modře vybarveného lichoběžníku platí:

 

 

Příklad 6:  Urči obsah lichoběžníku vyznačeného ve čtvercové síti, víš-li, že strana čtverce má velikost 3,5 cm(výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru čtverečného):

 

 

 

Úlohu budeme počítat stejně jako v předchozích případech. Nejprve si spočítáme délky obou základen a výšky lichoběžníku:

 

 

Poté již snadno spočítáme obsah lichoběžníku:

 

 

 

Příklad 7:  Urči obsah rovinného útvaru vyznačeného ve čtvercové síti, víš-li, že strana čtverce má velikost 1 cm:

 

 

 

Celý obrázek si rozdělíme na několik rovinných útvarů, jejichž obsahy umíš spočítat. Jedno z možných rozdělení vidíš na následujícím obrázku:

 

Obsah zeleně vyznačené části je:

 

Obsah modře vyznačené části je:

 

Obsah žlutě vyznačené části je:

 

Celkový obsah rovinného útvaru je:

 

Příklad 8 (obtížný): Rovnoramenný lichoběžník má obsah 30 cm2. Určete jeho výšku, mají-li základny délky 12cm a 3 cm.

 

 

 

Poznámka: Pokud jsi se ještě neučil upravovat výrazy a vyjadřovat neznámou ze vzorce, zkus si nejprve do vzorečku pro obsah lichoběžníku dosadit zadané hodnoty a poté vypočítat neznámou výšku v:

 

 

Příklad 9 (obtížný): Lichoběžník má obsah 20 cm2. Určete velikost základny a, má-li  druhá základna c délku 3cm a výška v délku 5 cm.

 

 

 

 

 

Příklad 10:  Urči obsah lichoběžníku ABCD (AB//CD), je-li dáno:;

 

Nejprve si z trojúhelníku ABC vypočítáš výšku lichoběžníku (viz obr.):

 

 

 

 

Poté si z trojúhelníku BCD vypočteš velikost strany c (viz. obr.):

 

 

Na závěr si již snadno spočteš obsah lichoběžníku ABCD:

 

 

 

C V I Č E N Í

 

Nejprve Ti nabízím několik úloh na procvičení probrané látky. Pokus se nejprve vždy sám úlohu vyřešit. Po seznamu úloh následuje přehled výsledků a nápovědy k jednotlivým příkladům. Přeji Ti hodně štěstí.

 

Úloha 1: Vypočítej obsah lichoběžníku ABCD (AB//CD), je-li dáno:

 

 

Úloha 2: Vypočítej obvod a obsah lichoběžníků ABCD znázorněných na obrázcích:

 

 

Úloha 3: Obvod rovnoramenného lichoběžníku ABCD je 125 cm, základny mají délky 35 cm a 25 cm. Vypočítej délku ramen lichoběžníku ABCD.

 

Úloha 4: Urči obsahy lichoběžníků vyznačených ve čtvercové síti a pojmenuj je, víš-li, že strana čtverce má velikost 1,5 cm:

 

 

Úloha 5: Jakou plochu zaujímá pejsek znázorněný ve čtvercové síti na obrázku (délka strany čtverce je 1 cm):

 

Úloha 6: Vypočítej obsah rovinného útvaru vyznačeného ve čtvercové síti o straně délky 1 cm:

 

 

Úloha 7: Vypočítej obsah rovinného útvaru vyznačeného ve čtvercové síti o straně délky 2 cm:

 

 

Úloha 8: Vypočítej obsah lichoběžníku ABCD, je-li dáno: ,  a bod X je vnitřním bodem lichoběžníku ABCD

 

Úloha 9: Pravoúhlý lichoběžník ABCD (AB//CD) má obsah 60 dm2. Určete jeho výšku, mají-li základny délky 15 dm a 5 dm.

 

Úloha 10 : Lichoběžník KLMN (KL//MN) má obsah S = 40 cm2. Určete délku jeho základny, má-li délka druhé základny l = 6 cm a výška lichoběžníku je v = 8 cm.

 

Úloha 11 : Pomocí dvou přímek rozděl obdélník na co největší počet lichoběžníků

 

VÝSLEDKY ÚLOH, NÁPOVĚDY K ÚLOHÁM

 

Úloha 1: Nezapomeň si u příkladu b) sjednotit jednotky

 

           

 

           

Úloha 2: Opět nezapomeň u úlohy b) sjednotit jednotky:

 

Výsledky k úloze a)

 

 

 

Výsledky k úloze b)

 

 

Úloha 3: Nejprve si od celkového obvodu odečteš délky obou známých základen. Vzniklý výsledek pak podělíš dvěma, protože rovnoramenný lichoběžník má ramena stejné délky:

 

 

Úloha 4: Než přistoupíš k výpočtu obsahu lichoběžníku, nezapomeň, že délka jednoho čtverce je 1,5 cm.

 

Červený lichoběžník (rovnoramenný) má obsah:

 

Zelený lichoběžník (obecný) má velikost:

 

 

Modrý lichoběžník (obecný) má velikost:

 

 

Žlutý lichoběžník (pravoúhlý) má velikost:

 

 

Úloha 5: Pejska si rozčleníme na tři rovinné útvary: obdélník, kosodélník a lichoběžník:

 

 

Obsah lichoběžníku je:

Obsah kosodélníku je:

Obsah obdélníků je

 

Obsah pejska je:

 

Úloha 6: Celý obrázek rozdělíme na rovnoběžníky a lichoběžníky (přijdeš na více možných způsobů rozdělení?) :

 

Obsah zeleného lichoběžníku je:

 

Celkový obsah rovinného obrazce je:

 

 

Úloha 7: Rovinný obrazec se skládá ze čtyř shodných lichoběžníků (na obrázku je žlutě vyznačen jeden z nich) a sedmi shodných čtverců o obsahu 4 cm2.

 

Obsah žlutě vyznačeného lichoběžníku je:

 

Obsah celého rovinného obrazce připomínající jedno zvířátko (které asi?) je:

 

 

Úloha 8: Na obrázku je celá situace přehledně vyznačena:

 

Z trojúhelníku ABX určíš výšku v:

 

Z trojúhelníku CDX určíš výšku v´:

 

Celková výška lichoběžníku je:

 

Obsah lichoběžníku je:

 

 

Úloha 9: Úloha je velmi podobná vzorovému příkladu 9. Záleží na Tobě, zda si ihned do vzorce pro obsah lichoběžníku dosadíš nebo si nejdříve vyjádříš neznámou ze vzorce. Předkládám Ti obě možnosti /časem budeš užívat jen tu první, která je z hlediska matematiky správná (nejdříve obecné vyjádření, pak dosazení):

 

 

Druhá možnost (dosazuješ ihned):

 

 

 

Úloha 10: Úloha je velmi podobná vzorovému příkladu 9:

 

 

Druhá možnost (ihned dosazuješ do vzorce):

 

 

Úloha 11 : Lze získat čtyři pravoúhlé lichoběžníky (viz. obr.):